Le vocable de Bavelincourt est attesté depuis le 12e siècle (Bavelainecort, 1148), mais le terroir est un lieu de peuplement beaucoup plus ancien puisqu'il contient un menhir (fig.), la pierre d'Oblicamp (sur la colline qui domine le village).

Bavelincourt était au Moyen Age le siège d'une seigneurie, dont les premiers détenteurs portaient le nom (Hessselin de Bavelincourt, 1212), avant que le fief ne passe à la famille de Fouquesolles. Deux écarts aujourd'hui disparus étaient alors attestés : le Francmoulin abritait une ferme appartenant à l'abbaye de Corbie, qui aurait été détruite avant 1669, et le hameau d'Agnicourt (mentions dès les 12e siècle) était le siège d'une seigneurie. Enfin, une autre seigneurie, relevant de celle de Bavelincourt, était attachée au hameau d'Esbart, où s'élève encore aujourd'hui un château (entièrement remanié vers 1900).

Dans son état actuel, Bavelincourt ne présente plus guère de trace de son passé médiéval, hormis une croix sculptée, cachée dans un taillis à l'entrée du village (fig.). La physionomie du village doit beaucoup au 19e siècle, aussi bien pour les maisons et les fermes que pour les édifices remarquables de la commune : l'église (fig.) (reconstruite en 1853-1854, dans le style néo-classique), la mairie (1841), l'école (1880), et le "château" (grande maison de notable, 1893).